artyom_ferrier (artyom_ferrier) wrote,
artyom_ferrier
artyom_ferrier

Category:

Ещё немного про устный счёт

Долгое время (процентов так 90 нашей видовой истории) люди не владели таким арифметическим действием, как умножение.

Сейчас — владеют. Если нет артрита, если пальцы попадают по клавишам калькулятора.

Но если нет ни артрита, ни калькулятора — многие современные люди зачастую впадают в ступор даже на задачках в рамках таблицы умножения.

Только и могут, что разводить руками и жаловаться, как плохо их учили в школе — никакой арифметики в голове не удержалось даже до опохмела после выпускного, не говоря уж про "до первых седин".

И калькуляторы калькуляторами, но, конечно, это не дело, когда человек не способен самостоятельно произвести совершенно элементарные действия в голове.

Ломоносов, в общем-то, правильно говорил про мать-мать-матику: «Хороша уже тем, что ум в порядок приводит». Как-то вот гонять кровь по мозгу, а данные по ячейкам памяти — всяко невредно.

К тому же, в некоторых случаях математические экзерсисы позволяют скоротать время. Скажем, когда совершаешь свой утренний заплыв, преимущественно брассом, неторопливо — начинаешь скучать через милю-другую. Ну и чтоб отвлечься — посчитать что-нибудь.

Какие математические способности следует называть «нормальными»?

Я бы сказал — когда чел свободно перемножает трёхзначные числа в уме. В разумное время (двадцать секунд, полминуты, такого порядка) и желательно без ошибок.

Это - «нормальный» показатель, поскольку я сам так умею.

Вот Лёшка, мой сынок, перемножает и четырёхзначные, и более.

Но я считаю, что это баловство и излишество. Делать мальчишке нефига. Всё-то выпендривается.

Хотя на самом деле ему просто много приходится программировать для своей «медиаимперии» - и у него выработалась привычка постоянно, в «фоновом режиме», прикидывать диапазоны значений, проверяя, нет ли лажи в коде.

А я — гуманитарий. Политик, гангстер, философ. Мне такой цифровой экстрим не нужен, меня для коротания времени вполне устраивает перемножение трёхзначных.

И это — совсем несложно, на самом деле. В принципе, поднатаскавшись, можно перемножать их и «по-танковому», в лоб. То есть, разлагать на разряды — и вперёд по очереди.

223 Х 498

И вот сначала на 400, потом на 90, потом на 8. А потом сложить.

Так тоже можно. Но, честно, немножко упреешь, если не имеешь способностей вундеркинда-аутиста или знаменитого циркового жеребца по кличке Умный Ганс.

Поэтому лучше всё-таки предварительно присмотреться к множителям — и прикинуть, что с ними можно сделать, помимо того, чтобы разложить на разряд.

И вот при некоторой внимательности можно обнаружить, что 498 — это 500 без двух.

Значит, умножаем 223 на 5, получаем 1115 - да два нуля — 111500, да 223 на 2 — это 446, а теперь вычитаем 446 из 111500, получаем 111054.

Секунд десять вычислений, при некоторой тренировке, не больше.

Ну и это-то очевидный приём — дополнение множителя до какого-то «удобного» числа с последующим вычитанием «излишка».

Что менее очевидный приём — тот, который я называю «четвертованием».

Как это выглядит?

Начнём немного издалека.

Вот, предположим, нам нужно умножить 184286 на 5.

Да, 5 — это однозначное число, вообще «ни о чём», но первый множитель — шестизначный. И тут-то можно устать пыль глотать, перемножая его по всем шести разрядам да суммируя значения.

Поэтому проще будет — его разделить. На 2.

Это действительно просто, безо всяких столбиков, безо всяких бумажек с ручками - мы за секунду получаем 92143.

А теперь — осталось только пририсовать нолик. 921430.

Мы разделили на 2, умножили на десять — и это то же самое, что умножить на 5.

А если разделить на 4 и умножить на 100, пририсовать два нолика, — это то же самое, что умножить на 25.

А если разделить на 8 и добавить три нолика — это как умножить на 125.

И вот прежде, чем затевать некие преумножительные операции — полезно посмотреть, нет ли в каком-то из множителей близости к «опорным точкам», числам, кратным 25 и 125 (их несложно запомнить).

Например, умножаем 941 на 76.

Подмечаем, что 76 — это почти как 75, только на единичку больше.

А 75 — это три четверти от ста.

Значит, для начала делим 941 на 4. Это очень просто сотворяется, деление на степени двойки, если приноровиться. 900/4 равно 225, да 40/4 равно 10, да один на четыре — 0,25, итого 235,25. Умножаем на сто — убираем запятую. 23525.

Это — как если бы мы умножили 941 на 25.

Но нам нужно — на 76.

Поэтому, пока — умножаем ещё на 3, ведь 75 — это три четверти.

Получаем 70575.

И прибавляем 941. Получаем 71516.

Быстренько проверяем, навскидку, по последним цифрам множителей.

Да, 1 на 6 — не может дать ничего другого, кроме как шестёрки.

Ещё — иногда полезно бывает делать проверку делимости на 3 (или 9).

Если сумма цифр в числе делится — то и само оно тоже. И в произведении множителей это свойство никуда не девается. Но если его не было ни в одном из множителей — то и появиться ему неоткуда.

В данном случае ни 941(14), ни 76(13), ни 71516(20) — на три не делятся.

Но на самом деле, умножение трёхзначного на двухзначное — слишком простой случай, чтобы морочиться проверкой. Там нечего забывать в процессе, там нет места для ошибки.

Но вот трёхзначное на трёхзначное — это уже немножко заковыристей.

Скажем, 239 на 873.

Вроде, выглядит страшно — но тут мы должны подметить, что 873 — это близко к 875 (всего без двух). А 875 — это семь восьмых от тысячи, 125*7.

И что мы можем с этим вытворить?

Для начала — поделим 239 на 8.

Замечу, тут тоже удобнее осознать, что 239 — это 240 без единицы. А значит: 30 - 0,125=29,875.

Добавляем три нолика, убираем запятую. 29875 — это как если б мы умножили 239 на 125. Но нам нужно на 875, а это семь раз столько.

Умножаем, для простоты, 30000 на 7, получаем 210000, а теперь — берём усемерённую разницу между 29875 и 30000. Те же 125 на 7, те же 875, уже нам знакомые. Вычитаем из 210000 — 875. Получаем 209125.

Это — произведение 239 на 875. Но нам нужно — на 873, на два меньше. Значит, из 209125 вычитаем 239*2=478, получаем 208647.

Проверяем по концевым цифрам. 9*3 — правдоподобно, что 7 получится?

Да, вполне.

Ну, значит, так и есть.

Возьмём ещё пример, не столь очевидный. Вот просто — из генератора случайных чисел возьму.

719*436

Не, ну здесь-то «четвертовать» без надобности. Здесь и обычным манером удачно раскладывается и перемножается.

436 на 700 — 305200, да 436 на 20 (ну не 19 же!) - 8720, да вместе — 313920. Но теперь — вычтем 436 (ибо было 20, а не 19). Можно было и из 8720 вычесть перед суммированием, но это непринципиально на самом деле. Главное — не забыть хоть где-то это сделать. Так или иначе, конечный итог — 313484.

Да, арифметическое четвертование, как и любой приём — в здравом уме применяется тогда, когда удобен, а не «ради принципа».

Но вот случай, где всё-таки удобней «четвертовать».

227 на 864.

227 — это 25*9+2.

Значит, делим 864 на 4, для начала. Получаем 216, вот так нацело.

Теперь — можем пойти двумя путями, чтобы получить произведение на 225. Или умножить на тысячу, приводя к 250, да оттуда одну десятую вычесть, или — умножить на сто и ещё на девять.

Но я всё-таки возьму 216000 и вычту 21600.

Получаем 194400. Вот это — 864*225.

Но у нас было 227, поэтому прибавляем ещё 864*2, то бишь 1728.

Итого — 196128.

Это правдоподобно, что 7*4 даёт 8?

Странно было бы что-то иное.

А как с делением на три?

864 делится как на 3, так и на 9, - и 196128 тоже. Значит, не накосячили, наверное (Лёшка — примерно так свой код и проверяет, и, вроде, работает :-) ).

Серьёзно же, понятно, что калькулятор считает быстрее человека.

Но когда ты окажешься на необитаемом острове и сядут все батарейки во всех девайсах — как ты будешь вычислять долготу по тени от палочки?

Ладно, на самом деле — я и сам уже хрен помню, как вычислять долготу по теням. Это довольно хлопотно, это не то что секстант из говна и палок на Полярную навести, для широты.

Поэтому — с необитаемого острова придётся плыть. Но когда наскучит картина этих назойливых акульих плавников среди волн вокруг — можно развлекать себя, между гребками брасса, перемножением трёхзначных чисел. А чтоб это было веселее — при случае можно их «четвертовать». Но без фанатизма.

Tags: маленькие хитрости, работа_над_собой
Subscribe

  • Пара слов про т.н. Complex Object, ч.2

    (Продолжение) В чём действительно может быть (и бывает) сложность с английскими этими конструкциями — так это с запоминанием, где требуется…

  • Пара слов про т.н. Complex Object, ч.1

    Продолжу, пожалуй, умиротворяться рассуждениями об английской грамматике. Ну, не результаты же российских выборов обсуждать? Среди моих читателей,…

  • Смысл через грамматику

    В недавней своей заметке про Tenses я сказал, что эти устойчивые сочетания со специфическими служебными глаголами можно любить уже за то, что они…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 4 comments