artyom_ferrier (artyom_ferrier) wrote,
artyom_ferrier
artyom_ferrier

Categories:

Ещё хинты для скоростного устного счёта

Близится Новогодие. За ним шторма, метели, снежный буран... война... эпидемия... космоса чёрные дыры. Но это будет завтра. А пока — джингл беллз. Не хочется говорить о войне, не хочется говорить о политике. Особенно — российской. Ну, в доме покойного — не о верёвке же?

Лучше — поделюсь ещё кое-какими соображениями на предмет быстрого устного счёта. Ведь, между прочим, это может быть хорошим развлечением тогда, когда сгорела подстанция, а китайский вертухай отобрал мобильник. Впрочем, да, обещал: без политики.

По Сети много гуляет всяких подобных хинтов и советов, как считать быстрее и ненапряжней, но оценка их практической ценности — дело индивидуальное. Кому-то одно помогает, кому-то другое, а кому-то вообще никаких уловок не надо, когда у него мама на сносях в рентгеновском аппарате заснула и теперь у него сами собой ответы в голове получаются.

Вот, допустим, говорят, что можно очень легко умножить любое двузначное число на 11. В начале будет его первая цифра, в конце вторая, а посередине — их сумма.

Например, 16*11. В начале — единичка, в конце шестёрка, а промежду — 1+6=7. Итого — 176.

Правда, когда эта сумма циферок переваливает через 10 — начинаются некоторые пляски с бубном. Единичку нужно присовокупить вперёд, а посерёдке — что останется от десятка. Скажем, 19*11 — 1(9+1=10)9 — 209.

Может, кому-то удобно так, но мне как-то проще на 11 умножать в обычной манере. Добавляем нолик, удесятеряя — и плюс это число ещё раз. 19*11=190+19=209. Вроде, уж на одиннадцать по-любому настолько быстро всё умножается — что чего там изголяться?

Хотя закономерность такая есть, с этой «магией цифр». И на трёхзначные числа тоже распространяется. Правда, алгоритм немножко сложнее. Первая цифра — без изменений, вторая — сумма первой и второй, третья — сумма второй и третьей, последняя — без изменений.

Или, математически выражаясь, - abc*11 = a(a+b)(b+c)c.

Допустим, 536*11. Получаем 5, потом 5+3=8, потом 3+6=9, и 6. Итого — 5896. Если кому так проще найти результат, чем 5360+536 — ну, значит, можно пользоваться.

Закономерность, естественно, сохраняется и дальше. Её легко выстроить. Это примерно как мы в школе морочились продолжением типов и слоёв электронов для элементов, которые ещё не скоро открыты будут (но разблюдовка — уже готова).

Скажем, для пятизначных чисел формула будет, как несложно догадаться, abcde*11 = a(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)e.

Проверим? 12345*11. Имеем: 1(3)(5)(7)(9)5. Да, альтернативный подсчёт «по-старинке», а также калькулятор, говорят, что верно — 135795. Но это вот я взял такие цифры, где сумма двух смежных не превышает 10. Когда превысит — там можно ошибиться, наверное, забыть единичку в левую стопку на разряд выше отослать.

Поэтому, честно, признавая эту закономерность — лично я предпочитаю умножать на 11 как а*10+а. Как-то вот оно лично мне — удобней.

А вот другой популярный хинт, быстрый способ возведения в квадрат числа, заканчивающегося на 5 — это действительно может быть полезно. Хотя, правду сказать, в быту не слишком часто встречаются ситуации, когда надо возвести что-то в квадрат и при этом по какой-то причине затруднительно воспользоваться калькулятором. Но когда на конце пятёрка — это сделать проще, чем во многих иных случаях.

Алгоритм такой. Пятёрку эту конечную — пока отбрасываем. Что перед ней — будем считать за А (число из скольких угодно цифр). И вводим А+1 (ну или А+ или даже А++, как кому нравится). Но это число — по-любому на единичку больше А. И перемножаем: А*(А+1).

Сделав это — достаём ту конечную пятёрку, оквадрачиваем её до 25 — и просто приставляем к получившемуся произведению А*(А+1). Заметьте: не складываем — а приставляем в конец.

Скажем, 35 в квадрате. Пятёрку отметаем, берём тройку, прибавляем единичку — и перемножаем 3 на 4. Получаем 12. И — присобачиваем в хвост 25. Получаем 1225, что и есть квадрат 35.

Наверное, для большинства людей это будет быстрее, чем лобовое перемножение 35 на 35.

Хотя лобового-то — в любом случае делать не рекомендуется. Лучше — 35*40=1400 минус 175 (35*5).

В принципе, если немножко приноровиться — двузначные-то числа любые перемножаются практически мгновенно.

А вот с трёхзначными уже немножко «удумчивей» (для меня, по крайней мере), и тут-то использование этого трюка с конечной пятёркой будет полезно.

Скажем, 745 в квадрате. Отметаем 5, имеем 74. И надо умножить на 75.

Да, получилось немножко по-читерски — хотя я не думал об этом, взял число от балды.

Но 75 — это три четверти от сотни. Поэтому надо присовокупить к 74 два нолика, 7400, и вычесть четверть.

Как это сделать оптимально, не перегревая мозг, когда не помнишь сходу, сколько будет четверть от 7400?

Ну, что от 8000 четверть это два косаря — думаю, все помнят. А тут, значит, 7400 на 600 меньше восьми штук. А четверть — меньше пропорционально, на 150.

И сколько это будет? А не важно, нам это сейчас нафиг не нужно высчитывать, отвлекаться на промежуточные значения. Тупо — 7400 минус 2000 плюс 150. Получаем 5550. И — прислоняем сзади 25, квадрат ранее отметённой пятёрки. Всё, 555025. Легко и просто — квадрат трёхзначного числа.

В иных случаях, когда число кончается не на пятёрку (или ноль, что ещё проще) — возвести в квадрат так уж совсем легко не получится.

Но можно немножко облегчить себе жизнь, используя «опорные» числа и теорему, которую можно сформулировать примерно так: «Квадрат среднего арифметического двух чисел равен их произведению плюс квадрат половины их разности».

Как это по-человечески выразить?

Ну вот есть 100 и 120. А их среднее арифметическое — 110 (сумма пополам). Можно визуально себе представить как срединную точку на отрезке между ними.

Какой будет квадрат 110? В данном случае, конечно, несложно посчитать и в лоб, тупо перемножив и получив 12100. Но в иных случаях — это будет посложнее. Зато можно получить тот же результат другим путём.

Для начала — 120 умножить на 100 (будет 12000). Теперь — берём половину разности между 120 и 100, как бы расстояние до них от точки с маркером 110. И это, разумеется, 10. Возводим его в квадрат, получаем 100, прибавляем к 12000.

Какой в этом смысл? Такой, что иногда (и довольно часто) нам, чтобы получив квадрат числа, будет удобно назначить его средним арифметическим между двумя другими числами, хотя бы на одно из которых — приятно умножать, когда это число имеет как можно меньше цифр.

Например, вот надо вычислить площадь участка со стороной 831. По-быстрому и без калькулятора.

Тупо перемножать в уме 831*831 — немножко припотеешь. То есть, выпускник мехмата — может, и не припотеет, а я — да.

Делаем по-другому. Срезаем до 800 — это и будет опорное число. Но раз отняли 31 — надо прибавить в другую сторону, чтобы получить второй множитель, 862.

Умножаем 862 на 8. Получаем 800*8+62*8=6400+496=6896. При некоторой практике — за секунду делается в уме. Ну и два нуля не забываем — 689600. Запоминаем. Причём, как говорил в прошлой заметке — лучше не париться тем, сколько там тысяч, а просто проговорить про себя число как «шестьдесят восемь девяносто шесть ноль-ноль». Во всяком случае, мне так удобнее, чтобы не забивать «оперативку» лишними словами. Хотя «шестьсот восемьдесят девять шестьсот» - тоже можно. Это уж дело вкуса.

Теперь «квадратируем» наш этот отрезочек, полуразность, 31. Получаем 961. И прибавляем к 689600.

При сложении-вычитании — не обязательно следовать тем или иным ригидным канонам, можно действовать по обстоятельствам, как удобнее.

Вот тут видим, что 961 — это почти тысяча, без 39 копеек. Поэтому лучше и прибавим сразу косарь, получим 690600, отнимем 39, итог — 690561.

Так и возвели в квадрат трёхзначное довольно «жирное» число, где много было циферок. Перемножать всё по отдельности — было бы муторно. А так — у меня двенадцать секунд ушло. У моего Лёшки — уходит на такие задачи существенно меньше. Но он и синусоиды в уме грызёт, а мне как-то без надобности, наверное. Так, прикинуть порядок цифр там-сям.

Просто при умножении, а не возведении в квадрат не очень удобных чисел — ну, тоже, конечно, следует прикидывать, как бы их сделать покомфортней, привести к каким-то «опорникам».

Скажем, надо перемножить 248 и 473. Что мы видим? Что 473 можно добить до 500. И это, кстати, часто бывает полезно — не срезать до «опорника», а нахлобучивать до него. В школе, вроде, не учат — но по жизни так удобней иногда. И тут-то разница — приятная такая, 27. Почему — потом будет ясно.

Значит, умножаем 248 на 500. 124000. Вот такое замечательное получилось число, очень легко запомнить.

Но теперь из него надо вычесть 248*27. И тут — опять «нахлобучиваем» до опорника, до 30 (тем и хорошо 27). 7440. Однако, это 248*30, а нам надо на 27. Значит, вычитаем оттуда 248*3, сиречь 744 (оно только что фигурировало при умножении на 30, мы его помним).

Как вычитаем? Да по удобному. 744 — это штука без 256, значит, минус штука (6440) плюс 256 (6696).

А теперь, финальный аккорд — 124000 минус 6696.

Опять же, можно взять 6696 за семь косарей без 304, отнять (117000) и прибавить 304. Итог — 117304.

Проверим на калькуляторе. Да, так и есть.

Хотя, казалось бы... уже сколько там коньяку-то после напряжённого делового дня? Где-то пи-на-сто граммов, не меньше. Но если более-менее привык крутить при расчётах циферками, как тебе удобно, не боясь, что они вознегодуют — это несложно, перемножать трёхзначные числа в уме и без записей.

Вот четырёхзначные — там уже не меньше sin30*литр коньяку требуется, для должной отваги и решимости. Мне, во всяком случае. И при этом тоже получаются результаты, но приходится считать, что они не в стандартной десятичной, а в авторской системе счисления. К слову, тоже лайфхак для ЕГЭ. Заявить, что у тебя собственная система счисления, и в ней всё правильно, но раскрыть её ты не можешь, потому как она секретная. Госстат всегда так делает — и прокатывало годами.

Tags: за жисть, маленькие хитрости, наука-много-гитик
Subscribe

  • Продолжаем отдыхать

    Поймал себя на мысли, что в былые времена я бы потратил минут двадцать, чтобы высказаться о встрече Путина с Байденом. Но сейчас? Чего я не сказал…

  • Белорусская распасовка

    Стараюсь не писать сейчас о политических делах — ну да разговорились давеча с молодёжью, должен поделиться, дабы предостеречь (кого-нибудь).…

  • Украина, Россия и Чехов

    Многие сейчас всерьёз приморочились будто бы неминуемым обострением российско-украинского конфликта. Иные эксперты уж инструкции публикуют, как…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 6 comments